在20世纪当代数学的繁密分支学科中，代数几何是一门十分重要而又比拟异常的分支，它与代数、分析、数论、几何、拓扑以及数学物理等各主要学科都有紧密的量度，践诺上，抽象代数、代数拓扑、微分拓扑、举座微分几因何及分析学中的许多重要表面都是因代数几何研究的需要而建议的。因此代数几安在数学中起着一种中心纽带的作用【VEC-247】母の親友 KAORI，是当代数学统一化趋势的主要体现者。关联词从19世纪到20世纪的中世，代数几何其实一直是在一个勤劳严格逻辑基础的环境中艰巨地上前发展的。最终，数学家格罗滕迪克（Grothendieck）在1960年代用概形(scheme)表面为代数几何奠定了隆重的逻辑基础，从而促进了当代数学的大发展。本文简要讲求了从代数簇到当代的概形表面的代数几何发展史。

一、在19世纪之前的发祥

经典代数几何的主要研究对象是“代数簇”(algebraic variety)，最粗野的代数簇(也称为代数集)是一组多元多项式的零点聚拢。

当其中的各个多元多项式都是一次多项式时，那么它即是线性代数中所研究的线性方程组，此时的代数簇即是咱们都熟练的线性方程组的解空间。关联词当多项式不是一次时，代数簇的研究就尽头的复杂，需要用到代数、几何与分析等学科中的巨额数学才气和用具。

对代数簇的研究践诺上从古代希腊就开头了，古希腊数学家们所熟练的直线、圆、圆锥弧线、三次弧线都是最粗野的代数弧线，而平面、球面、柱面和二次曲面都是最粗野的代数曲面，这些代数弧线和代数曲面都属于只用一个多元多项式来笃信的代数簇。在莫得直角坐标系的要求下，阿波罗尼乌斯(Apollonius)愚弄了在今天看来是很粗劣的欧氏几何才气，对圆锥弧线作了十分详备的研究，发现了它的许多基人道质。

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图1：从圆锥弧线到二次曲面

到了近代，法国数学家笛卡尔(Descartes)和费马(Fermat)在愚弄解析几何的才气来研究纵情代数弧线方程的时候，事情就发生了质的飞跃。古代希腊数学家由于莫得代数用具，他们只可局限于研究低次代数方程所暗意的弧线或曲面，而有了解析几何之后，在表面上就不错征询纵情次数的代数弧线或代数曲面，从而就不错把通盘的几何问题都更始为代数问题来治理。东说念主们开头研究平面代数弧线 和空间代数曲面 ，况兼发现了在坐标变换下弧线与曲面方程次数的不变性。费马讲解了通盘非退化的二次代数弧线都是圆锥弧线。微积分的发明者之一、数学家牛顿还对三次平面代数弧线进行了初步的分类(共有72种)，而18世纪的大数学家欧拉(Euler)则对通盘的二次代数曲面进行了分类。

在17世纪时，德沙格(Desargues)通过研究画家的透视才气而形成了射影对应的成见，他还引进了无限远点的成见。在普通的欧氏平面和空间中加入了无限远点后，就得到了紧致的射影平面和3维射影空间，它们是许多经典代数簇地方的空间。另一方面，欧拉的虚数成见的引入也进一步完成了代数方面的“顽固化”（举例一元代数方程诚然不一定有实根，但老是有复根），由此不错简化许多数学命题的表述。举例在普通的欧氏平面中，非退化的二次代数弧线要分为椭圆、双弧线和抛物线这三种弧线，而在复射影平面中，非退化的二次代数弧线唯惟一种，况兼三次代数弧线不是牛顿所分的72种类型，而是唯独三种弧线。

牛顿和莱布尼茨(Leibniz)还用所谓的“消去法”得到了笃信两条代数弧线相交点的方程组（这些方程组在大学高档代数课本中被称为“结式”方程组）。在此基础上，数学家贝祖(Bézout)讲解了著明的贝祖定理：设C和C’是次数永诀为m和n的平面射影复代数弧线，则C和C’相交于mn个点(计入重数)。举例从名义上看，复射影平面内的一条直线与一条抛物线的相交情形一共有四种：交于两点、交于少量、相切与无交点。但其实直线与抛物线交于少量时，它们还相交于抛物线上的无限远点，而相切不错知道成它们相交于两个重合在全部的点，至于不相交的情形，则不错作为是它们相交于复平面上的两个被称为“圆点”的虚的无限远点。这样，一次的直线与二次的抛物线在复射影平面上总有1×2＝2个交点。又如一个椭圆与一条三次弧线老是相交于2×3＝6个交点等等。贝祖定理践诺上是代数几何中相交表面的首先。

代数几何的第二个主要来源是分析学中的椭圆积分表面。所谓椭圆积分，是指如下表情的积分：

其中的 是有理函数， 是3次或4次多项式。研究椭圆积分的率先主义是为了计较椭圆的周长，咱们在微积分里还是知说念，肖似于求椭圆周长的这种定积分是莫得原函数的，也即是“积不出来”的积分，它们只可通过近似计较的才气来求出定积分的值。欧拉对一个比拟粗野椭圆积分，也曾讲解了一个与反三角函数积分性质相似的“加法公式”：

这个加法公式其实是一类十分重要的代数弧线——椭圆弧线上群结构的萌芽。

二、19世纪对代数簇的初步研究

19世纪是射影几何的黄金时期，以庞斯莱(Poncelet)为代表的一批数学家建立了射影几何的系统表面，总结和整理了巨额的射影几何命题和才气，异常是射影变换的表面。举例不错将圆锥弧线作为是两个互相射影对应线束的对应直线的交点轨迹等。东说念主们发现了交比这一射影变换下的不变量，研究的对象也从“点几何”扩大到了“线几何”，况兼开头研究射影空间里由两个代数曲面相交而产生的空间弧线。

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图2：庞斯莱与射影几何的黄金时期

东说念主们不错讲解在每个三次代数曲面上都有27条直线，以及每条非退化四次平面代数弧线都有28条与该代数弧线同期相切两次的双切线，而很有名的普吕克(Plüker)公式则描摹了平面代数弧线上的奇点性质。

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图3：在每个三次代数曲面上都有27条直线

这个阶段的研究终结还包括了：直纹曲面、2次直线簇、格拉斯曼簇(Grassmann variety)、塞格雷(Segre)的代数簇乘积的界说等。此时所研究的代数簇的维数也开头冲破3维，进入到了纵情的n维。异常是数学家们开头有了“模空间”的想法，即沟通一组温和并吞要求（举例方程的次数调换）的代数弧线聚拢，它们的全体又不错作为是另一个更高维数的射影空间里的一个代数簇。

在这时的射影几何表面里，有一些波及到计数几何(enumerative geometry)的定理，其中有一个很著明的定理是说：与5条已知圆锥弧线都相切的圆锥弧线一共有3264条。

在19世纪初，阿贝尔(Abel)又将椭圆积分大幅度地施行成了阿贝尔积分(即有理函数积分)

其中的 是有理函数， 与 必须温和代数方程(即代数弧线)

其中的函数 是多项式。况兼阿贝尔也得到了对于阿贝尔积分的肖似的“加法公式”。这个公式践诺上深远了用积分表情暗意的代数弧线上除子(divisor)的等价性关系，它在自后黎曼等东说念主的手中进一步发展成为代数弧线上的阿贝尔簇(Abelian variety)的表面。阿贝尔簇是一种在当代数论中十分重要的代数簇。

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图4：伟大的数学家黎曼

黎曼是19世纪最伟大的数学家。他在研究阿贝尔积分表面的经过中建议了内蕴的“黎曼曲面”的成见和黎曼曲面上代数函数的表面。阿贝尔积分是复变函数论中与复代数弧线紧密关系的一种复积分，现时在复平面内，若是是一个二元复多项式，那么＝就界说了一条复代数弧线，注意在这里不错取复数值的x和y都是实2维的复变量，因此复平面就不错作为是实4维空间，而尽头于两个实数等式的复数等式＝践诺上又笃信了两个4维空间中的曲面，由于每增多一个实数等式就尽头于减少一个几何维数，于是复代数弧线＝践诺上即是一个4－2＝2维的实曲面。这样，每一条复代数弧线都对应了一个抽象的被称为黎曼曲面的几何对象。

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图5：黎曼曲面

黎曼的驱动标的是对黎曼曲面上通盘的阿贝尔积分进行分类，由此动身他得到了一系列描摹黎曼曲面性质的重要定理。由黎曼曲面与代数弧线的逐一双应关系可知，他践诺上是得到了不少对于代数弧线表面的重要终结，因此咱们不错讲，是黎曼始创了用分析来研究代数弧线的才气。

黎曼初次发现了“亏格”这一当代几何的基本成见(直不雅地讲它对应了几何对象上“洞”的个数)，并建议了代数几何中最基本的双有理变换的念念想。若是代数弧线 上的点 与 上的点 之间有以下的有理变换(对应)关系

那么就称这两条代数弧线是双有理等价的。双有理变换是一种比射影变换愈加浮浅的变换，它大约保持代数弧线的亏格 不变，况兼此时两条代数弧线上的有理函数域一定是同构的。数学家们在自后逐渐相识到：不错通过有理函数域这一代数对象，来践诺描摹和掌控代数弧线这一几何对象。因此这践诺上即是建立了几何与代数之间的基本量度。从黎曼的时期到现时，从某种进程上不错说，代数几何的主要才气即是通过研究代数簇上的有理函数域来得到代数簇本人的性质。黎曼和他的学生罗赫全部，还发现了著明的代数弧线上的黎曼-罗赫定理：

U系大作战2

其中 是代数弧线上的纵情除子( 是整数， 是代数弧线上的点)， 是 的次数， 是由代数弧线上温和一定要求的全体有理函数构成的线性空间 的维数，l（K－D）的真义是肖似的， 是由代数弧线上的微分表情所笃信的典则除子，上述等式右边的 即是代数弧线的亏格。这个定理反馈了代数弧线上的某些由温和一定要求的有理函数构成的线性空间的性质是若何受到亏格 这一几何不变量禁止的。这个深刻定理自后在20世纪被施行到了高维代数簇的情形，并顺利导致了著明的阿蒂亚-辛格主义定理的发现。

也许咱们不错这样以为，黎曼在1854年的著明演讲中所给出n维黎曼流形的初步成见，不单是是为了研究物理学真义上几何空间的需要，其实亦然在为探索一般的代数簇性质所作念的准备责任。黎曼在历史上第一次发现，在一般的高维微分流形上也不错缔造纵情的度量。他经过仔细的推算，发现了描摹黎曼流形局部几何性质的主要不变量——黎曼曲率张量 。这些张量践诺上成为了举座微分几何发展的起点，况兼最终都知道过某种变化了的表情而进入到了代数几何的表面中。愈加令东说念主难以置信的是，黎曼在研究数论时所建议的大名鼎鼎的“黎曼臆想”，自后竟也变成了鼓舞代数几何发展的遒劲能源。所谓的黎曼臆想是说：

“

复变函数黎曼 函数

的全部非无为复零点的实部都等于。黎曼臆想是一个内涵极其>丰富的臆想，它是当代数学中还莫得被讲解的最重要的臆想。

”

代数数论其实亦然代数几何的第三个主要来源。为了研究代数数域的需要，19世纪的数学家克罗内克(Kronecker)和感恩金(Dedekind)等东说念主引入渴望、赋值和除子等基本成见。以这些数学家为代表的“代数派系”的责任标的是设法对黎曼用分析才气给出的终结作出纯代数的讲解，不容争辩，这对代数几何这门学科的性质来讲是至关重要的。

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图6：克罗内克(左)和感恩金

如前所述，每个代数弧线(或黎曼曲面)的双有理(或共形)等价类都对应和笃信了一个同构的有理函数域L，它是复数域C的有限膨胀。若是已知代数弧线(或黎曼曲面)S， 每个点都不错笃信一个破碎赋值 ： (Z是整数集)。感恩金和韦伯(Weber)的想法是将这个经过倒过来：从给定的的域的有限膨胀L / C动身， 具体地构造出一个代数弧线(或黎曼曲面)来， 使得它的有理函数域碰巧即是这个域L。从这个果敢的想法里咱们不错看到当代概形成见的雏形：从代数的对象动身来构造几何对象。感恩金和韦伯在用域L构造代数弧线时，将L上的每个非无为的破碎赋值都界说为“L所对应的代数弧线(或黎曼曲面)S的一个点”，从而就得到了一个抽象的“代数弧线(或黎曼曲面)”。自然，构造这种抽象的“代数弧线”并不是在作念枯燥的数学游戏。在研究代数簇的双有理分类问题中，通常需要在并吞个等价类中寻找一个性质比拟好的代表元素，而这个元素常常即是通过这种奇怪的花式东说念主为地构造出来。举例1939年扎里斯基在讲解代数曲面的奇点解消定理时，亦然愚弄了这个才气。

与此同期，以马克斯·诺特(Max Noether)和克莱布施(Clebsch)为代表的“几何派系”连续从经典射影几何的角度研究复代数弧线和复代数簇，他们他们进一步清爽和发展了黎曼的对于双有理变换和黎曼-罗赫定理的表面，况兼发现了平面代数弧线奇点解消的基本才气，即所谓的二次变换“胀开”(blowing up)的才气。

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图7：马克斯·诺特和平面代数弧线的奇点解消才气

三、19世纪末到20世纪早期对代数簇的深入研究

从19世纪末期开头，代数几何的发展进入了一个新的历史阶段。以皮卡(Picard)和庞加莱(Poincaré)为代表“分析派系”试图将黎曼的复代数弧线表面施行到复代数曲面上。诚然这里的(复的)维数只是增多了一维，然而与代数弧线的情形王人备不同，研究代数曲面需要克服许多贫困，难度极大。举例在复三维的空间中，若是g(x，y.z)是一个三元复多项式，那么g(x，y.z)＝0即是一个复代数曲面。与复代数弧线肖似，g(x，y.z)＝0践诺上笃信了实6维空间中的一个6－2＝4维的实微分流形。

肖似于黎曼研究上的有理函数的积分

皮卡研究代数曲面 上有理函数的积分

他用形如 ( 为常数)的一组平面去截割上述代数曲面， 在所得的代数弧线上再愚弄黎曼的终结， 然后分析当 变化时的情形，得到了一些重要的终结。

与代数弧线一样，代数曲面上有理函数的积分也受曲面的拓扑性质的禁止。举例对于曲面 上与微分表情量度的典则除子 ，由它所笃信的函数空间的维数温和 ，其中的 被称为代数曲面的几何亏格。与代数弧线唯独单一的亏格 不同，描摹代数曲面除了几何亏格 之外，还需要算术亏格 等其他的不变量。

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图8：庞加莱创立了代数拓扑中的同爱护论

在研究代数曲面的经过中，尽头需要了解高维流形的拓扑性质。庞加莱为此始创了代数拓扑的同调(homology)表面。为了弄清晰黎曼所说的高维“贝蒂(Betti)数”到底是什么，庞加莱开头建立单纯复形的同爱护论，以便大约严格地讲解黎曼的直不雅臆想。他从1895开头，写出了著明的对于同爱护论的一系列文章。那时，庞加莱还没灵验群论的言语，自后在1930年代经E. 诺特(Emmy Noether)建议，东说念主们才改用了群论的术语。在今天【VEC-247】母の親友 KAORI，咱们不错用简练的言语来描画庞加莱所引入的基本成见：先将代数簇 进行三角剖分后得到单纯形 ，然后界说规模运算同态 ，从而不错得到单纯复形

由于有基本的等式  ， 是以大约构造单纯同调群(其实亦然线性空间)

这样，第 个贝蒂数即是该线性空间的维数

它们都是拓扑不变量，不错用来描摹代数簇的几何性质。

接着莱夫谢茨(Lefchetz)在20世纪初期进一步用这个同爱护论开头研究复代数曲面的拓扑性质，得到了许多深刻的定理。对于代数曲面表面研究的最主要的孝敬如故来自于著明的“意大利派系”。这个派系的三个主要代表东说念主物是卡斯泰尔诺沃(Castelnuovo)、恩里奎斯(Enriques)和塞维里(Severi)，他们在20世纪初期用天才的几何直观和精深的几何手段，空洞愚弄包括分析与拓扑才气在内的多样才气创造了复代数曲面的一个尽头深刻的表面，包括代数曲面的奇点解消、代数曲面的除子与线性系的经典表面、代数曲面的黎曼-罗赫定理的初步表情以及代数曲面的模空间等等。

但同期意大利派系的责任也有一个很大的迂回，那即是勤劳一个统一的逻辑基础，一些“讲解”要依赖于数学家心目中某种隐秘的几何直不雅，因而勤劳严实性。和数学史上常见的情形一样，这种逻辑基础不稳的景色对于视严格为人命的数学家们来说是一件异常纠结的事，它严重结巴了代数几何的上前发展。

四、将抽象代数才气引入到代数几何中

要信得过严格地建立起代数几何的推理逻辑基础，离不开抽象代数，这是因为抽象代数大约在最一般的情形中准确地描画代数簇的性质。在1900到1930年之间，还是开头出现了一些抽象代数的表面，包括群、环、域和模等表面。群论主要来源于19世纪的伽罗瓦(Galois)表面，而环与渴望的成见则来自于感恩金的代数数论，它们的最早雏形是数域的代数整数环尽头渴望的成见。克罗内克不仅从代数数论中抽象出了一般的环与渴望的成见，况兼拉斯克(Lasker)在20世纪初期就发现了渴望与代数簇之间一些最基本的自然量度，举例不可约仿射簇所对应的“坐标环(coordinate ring)”一定是整环，而不可约仿射簇的几何维数践诺上就等于这个整环的商域在复数域上的卓绝次数等。

现时咱们来解释环(ring)为什么对代数几何来说是很重要的。在由全体 元多项式构成的多项式环 中，任何由 个多元多项式所笃信的代数集 也笃信了一个渴望：

所谓代数集 的坐标环，即是由这个渴望所笃信的商环

它也不错作为是 上全体 元多项式函数的聚拢。当 不成暗意成两个更小的代数集的并集(即不可约)时，就称 是一个仿射簇(affine variety)。此时的渴望一定是一个素渴望，而相应的坐标环是一个整环。因此咱们看到，在仿射簇与坐标环之间有逐一双应的关系：

仿射簇坐标环

若是咱们将几许个仿射簇合乎地“拼贴”在全部， 那么就得到了一个传统真义上的代数簇。因此仿射簇是代数簇的基本构成部分。举例 维射影空间 即是一个比拟粗野的代数簇，它是由 个普通 维欧氏空间经过拼贴而成的。

另一方面，著明的希尔伯特零点定理是说： 中的极大渴望和 的点是逐一双应的，因此坐标环的极大渴望就与仿射簇 的点逐一双应，这其实也意味着不错字据代数的信息(即渴望)来构造几何的对象。这是自后概形成见大约产生的最原始的想法。

克鲁尔(Krull)进一步建立了对于环的渴望方面比拟系统的表面，包括环的局部化(localization)的成见、整闭环的性质、赋值表面和克鲁尔维数等内容。对代数几何来说，环的局部化成见口角常基本的。对于仿射簇 来说，整环 的商域是它的有理函数域 。对 上的任何点 ，都有一个局部环：

自后东说念主们发现，这些局部环的全体构成了不错给出仿射簇 几何特征的结构层(structure sheaf)。

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图9：E. 诺特建立了抽象代数的基本表面框架

E. 诺特是20世纪最伟大的女数学家，她亦然代数几何学家马克斯·诺特的女儿。在E. 诺特之前，代数学基本上只局限在实数域和复数域中进行研究，是E. 诺特首先相识到代数结构是代数学中的首要成见，她对建立起抽象代数学的基本表面框架起着主要的作用。范德瓦尔登(van der Waerden)所写的两卷名著《代数学》即是为系统总结E. 诺特和E. 阿丁(E. Artin)的环论以尽头他抽象代数表面而写的。E. 诺特将感恩金的代数数域的渴望阐明表面施行到一般的环上，得到了许多像“任何渴望均可暗意为准素渴望的交”这样的基本定理，异常是对于“诺特环”这样的在代数几何中最常用到的成见和关系表面。

范德瓦尔登也对代数几何的逻辑基础成立，有过重要的孝敬，他在1930年代写了一系列的文章，用抽象代数的才气解释了以往代数几何学家们直不雅依稀的“一般点(generic point)”和“特殊化(specialization)”的信得过含义，给出了在相交表面中最基本的代数簇相交重数(intersection multiplicity)的严格界说。尤其值得一提的是：范德瓦尔登的学生和主要融合者周炜良也参与到了代数几何基础的重建责任中。周炜良是一位出身于上海的中国数学家，他的一世对代数几何有着许多基本的孝敬，其中最有名的是对于解析簇与射影簇等价的周定理，他还讲解了代数簇上闭链(cycle)的有理等价性定理，从而就不错界说一种重要的环——周环(Chow Ring)，它现时是相交表面中的一个基础术语。

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图10：范德瓦尔登与周炜良

另一位在代数几何中大限度引入抽象代数才气的数学家是扎里斯基(Zariski)。扎里斯基蓝本是意大利派系三位主要代表大师的学生，他对经他整理的意大利派系终结的讲解严实性不及而感到不安和失意，是以他决定用抽象代数的才气来再行给出通盘的讲解。开头的时候，扎里斯基只是是将几何的言语“翻译”成代数的言语，然而他很景色志到将经典代数几何里的定理平行地翻译成那时的抽象代数言语是远远不够的，好多时候扎里斯基必须我方再行发明新的抽象代数成见，并建立关系的抽象代数表面，才能温和描画代数簇复杂性质的需要。举例在给出重要的代数曲面奇点解消定理讲解的时候，扎里斯基就第一次告成地将环论中的整闭包的表面与克鲁尔的赋值环的表面愚弄到了代数几何中，况兼还创造了一个被称为“正规(normal)”的新的抽象代数成见。到自后，在代数几何里所需要用到的交换环常识是如斯之多，甚至于扎里斯基和他的融合者挑升写了两卷《交换代数》，来作为东说念主们学习代数几何的酌量常识。

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图11：扎里斯基在代数几何中引入抽象代数才气

扎里斯基还界说了在代数几何中零散的“扎里斯基拓扑”的成见，其中一律将代数集的补集都界说为“开集”。咱们不错联想，任何两个这样的开集的错乱都不是空集，因此在这种比拟轻佻的拓扑里就不会有通常点集拓扑中的豪斯多夫(Hausdorff)分离性公理。尽管如斯，扎里斯基拓扑却尽头顺应研究代数簇性质的需要。

五、举座微分几何才气的引入

黎曼用分析的才气研究代数簇的传统深深地影响了20世纪对于代数几何的研究。首先，举座微分几何的前驱外尔(Weyl)在研究克莱因(F. Klein)对于黎曼曲面的著述基础上，在1913年写了《黎曼曲面的成见》这本繁重要的著述，其中初次给出了黎曼曲面的当代界说，系统整理了黎曼曲面的解析表面。从外尔给出的黎曼曲面内蕴界说动身，东说念主们就不宝贵到高维微分流形的一般界说，即微分流形是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，况兼通盘的坐标邻域之间的休养函数都是可微函数。自然，代数簇不一定是微分流形，因为它不错包含奇点。关联词从研究微分流形的经过中所产生的几何才气和表面大多都不错被用到代数几何的研究当中。践诺上，微分流形的界说即是自后的概形界说的源泉，这两个界说都强调不依赖外部的空间而孤立存在，而且局部都是与比拟粗野的几何对象同胚(或同构)。

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图12：举座微分几何的前驱外尔

相同是在20世纪早期，列维-王人维塔(Levi-Civita)为了弄清晰黎曼所发现的复杂的曲率张量的信得过含义，而建议了黎曼流形中“平行移动”的粗野成见。外尔则进一步将它发展成为“仿射连结(affine connection)”这一当代微分几何的基本成见。所谓“连结”，粗野地说即是切空间的求导规章，它在本色上还是与空间的度量无关。就像黎曼将度量从空间均分离出来一样，外尔也将连结从度量当均分离了出来。

举座微分几何另一位前驱是法国数学家E. 嘉当(E. Cartan)，E. 嘉当接下来是将连结的成见发展成为“广义空间”的基本成见。他的著明的“举止标架”才气其实即是“向量丛(vector bundle)”成见的雏形，一般用以下标志来暗意向量丛：

其中的暗意从向量丛 到微分流形 的投影映射，对 上的每个点 来说，它们的“纤维” 都是向量空间(举例每个点 的切空间即是这样的向量空间，它们构成了 的切丛)。而描摹流形周折进程的连结成见就不错施行成向量丛上的连结。自后东说念主们又从向量丛的表面中抽象出了更一般的“纤维丛(fiber bundle)”表面。

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图13：举座微分几何的前驱E. 嘉当

E. 嘉当(以及先前的庞加莱)还引入了很重要的微分表情(也称为“外微分表情”)：

E. 嘉当愚弄了微分表情来暗意向量丛上的连结。在20世纪的20年代，那时险些通盘的微分几何学家都只是使用张量分析，而唯独E. 嘉当在微分几何中使用微分表情的才气，这口角常超前的。E. 嘉当在研究李群(一种特殊的微分流形)的举座拓扑性质的时候，发现从微分表情中不错顺利得到流形的几何与拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的深刻量度。E. 嘉当作出了一个十分重要的臆想：由微分流形 上的通盘微分表情笃信的德拉姆(de Rham)同调群与 的上同调群(cohomology group)应该是同构的，即有

“同构”这一术语的真义是说，在代数上这两个群是王人备一样的。

德拉姆是E. 嘉当的学生，在1931年，德拉姆讲解了上述臆想，使之信得过成为了“德拉姆定理”。这个定理是当代几何发展史上的一个里程碑。另一位数学家霍奇(Hodge)则进一步弄清晰了德拉姆同调群的里面结构，为这个群中的每一个元素都找到了合资（微分）表情来作为其代表，由于合资表情在椭圆型偏微分算子的作用下第于零，从而不错愚弄偏微分方程的才气来愈加准确地暗意代数簇的几何不变量。

这里要异常先容一下咱们熟练的陈省身先生对于代数几何所作出的重要孝敬。陈省身早年亦然E. 嘉当的学生，他承袭了后者的纤维空间的念念想，况兼长期在微分几何中一心一意地愚弄微分表情的才气。陈省身在1944年用微分表情内蕴地讲解了高维流形 的高斯-博内(Gauss-Bonnet)定理：

这个等式左边的是 的球丛上的曲率微分表情，右边是流形 的欧拉示性数，这个重要定理标明了流形局部的分析不变量与举座的拓扑不变量之间的紧密量度。

接下来，陈省身先生将讲解高斯-博内定理中的念念想用到了一般的复流形上， 用复流形 的纤维丛 上的微分表情笃信了 的上同调群的元素——“陈(省身示性)类”：

这个极其重要的责任建立起了纤维丛的上同调群与微分流形的上同调群之间的顺利量度，深远了纤维丛对于描画微分流形的举座拓扑性质的重要性。自后东说念主们逐渐发现，陈类是抒发高维代数簇几何性质（举例高维的黎曼-罗赫定理）的最基本的用具。

而要让纤维丛信得过进入代数几何，靠的是另一位数学家韦伊(Weil)的勤奋。韦伊是陈省身先生一世的知心，有十年的时辰他们在全部责任，共同探讨了纤维丛的表面。在1950年，韦伊首先发现了纤维丛表面不错用到代数几何中，这是因为他看出：复流形上的每个除子都对应了一个线丛(line bundle，即秩为1的向量丛)，而反馈流形拓扑性质的主要主义欧拉-庞加莱示性数也必须用流形切丛的陈类来抒发。接着很快，高维代数簇的黎曼-罗赫定理也被其他数学家通过愚弄了纤维丛和层论(sheaf theory)而发现和讲解。这样，纤维丛表面就和差未几同期发展起来的层论知道在全部，成为了鼓舞代数几何上前发展的强有劲兵器。

六、当代数论中的韦伊臆想

韦伊不错说是20世纪当代数学中涉猎最广的数学家，他对险些通盘的基础数学主要分支学科都作出了首要的孝敬，它们永诀是抽象代数、数论、算术代数几何、代数几何、举座微分几何、代数拓扑、李群和李代数、分析学等领域。韦伊研究代数几何的动机主要来源于数论——他很早就想讲解著明的黎曼臆想。

韦伊接收的是间接间接的战略。粗野说来即是先对一些比拟粗野的域(举例有限域)讲解黎曼臆想，从中取得训戒，将来再沟通最难拼集的复数域上的黎曼臆想。早在1923年，E. 阿丁(Artin)类比于感恩金的代数数域的黎曼 函数，界说了有限域上的黎曼 函数：

其中的 是一个次数为 的多项式，而这里的 是与有限域对应的某条代数弧线的亏格(自后东说念主们发现上述由E. 阿丁界说的黎曼 函数所温和的函数方程碰巧即是对于该代数弧线的黎曼-罗赫定理)。包括E. 阿丁和韦伊在内的一些数学家臆想：对有限域 上的代数弧线来说，多项式 的全部零点都在圆 上，而这恰是有限域上代数弧线的黎曼臆想。

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图14：20世纪的大数学家韦伊

为了讲解这个臆想，韦伊需要使用经典代数几何的才气，是以他必须治理经典代数几何的基本成见疏漏不清、表面基础不稳的严重问题。为此韦伊在1946年挑升写了一册书《代数几何基础》，在这部重要的著述中，韦伊仿照微分流形的界说，首先建议了内蕴的“抽象代数簇”的界说，他用有理函数作为休养函数，将局部的比拟粗野的仿射簇粘贴在全部，成为了一个抽象代数簇，从而透顶开脱了外皮射影空间的经管，极地面扩展了代数几何的适用范围。韦伊还在他的抽象代数簇上初次使用了扎里斯基拓扑。在此基础上，韦伊用我方的花式建立了一整套代数几何的基础表面。他用交换代数的言语，引入了代数几何中的一批重要的成见，包括闭链、一般点、特殊化、相交重数和曲面上的对应等。诚然从名义上看，韦伊所建立的这些表面自后好象都被概形表面王人备取代了，但其实它们只是换了一种表情，最终都被继承进了概形表面中。

1946年，在上头这本书出书之后不久，韦伊终于讲解出了他的对于有限域上代数弧线的黎曼臆想。然后在1948年，韦伊字据他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇等高维代数簇在有限域上的点数所作念的计较终结，况兼在拓扑学的启发下，建议了高维代数簇上与黎曼臆想肖似的“韦伊臆想”。这个令东说念主嗅觉是震天动地的韦伊臆想，深远了在有限域上代数簇的算术(arithmetic，即数论)性质与复数域上的代数簇拓扑性质之间具有尽头深刻的量度。

七、层论的用处

要想讲解韦伊臆想，数学家们需要太多的数学用具，其中就包括了还莫得被创造出来的概形表面。概形的成见中包含了两个方面的内容，第一个内容是抽象的“几何对象”，第二个内容是它上头的多样“函数”，也即是层。层论最早是由法国数学家勒雷(Leray)在20世纪40年代初建议的，他在二战前主要研究偏微分方程，二战中他被关进监狱，为幸免让德军派去作念应用性的研究，他在监狱里只研究属于基础数学的层论。

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图15：勒雷创立了层论

层的成见来源于复变函数论中的全纯函数(即解析函数)，层所包含的元素既不错是函数，也不错是包括了群、环和纤维丛的截面(section)等在内的其他多样东西，因此它不错作为是纤维丛的某种施行。层 的界说梗概是：设 是拓扑空间， 是开集，记 是 上“函数”的聚拢。在 的开集包含关系 之间，有限度（restriction）同态 ： ，使得开放集 上的“函数”一定亦然位于其中的小开集 上的“函数”，况兼若是 是 的开隐敝，况兼对任何 与，有“函数”十分的关系，则存在唯一的“函数” ，使得对任何，都有 。

层的优点是，它就像一个纯确实百变魔术箱，不错包含多样几何与拓扑方面的信息。举例通过建立层的上同调群，不错从局部的信息来得到拓扑空间举座的信息，况兼还不错处理带有奇点的复杂的几何空间。20世纪50年代，数学家H. 嘉当(E. 嘉当的犬子)在研究多复变函数论的时候，发现勒雷的层论尽头灵验。H. 嘉当发现复代数几何心仪大利派系的许多不变量都不错通过层的上同调群言语，很容易地暗意出来。举例，若是设

是 维紧致连通复凯勒(Kähler)流形 上结构层 的复形，那么和代数拓扑中的单纯复形一样，不错界说层的上同调群

这时维数 即是的几何亏格，而它的算术亏格则是

H. 嘉当还进一步给出了环层空间(ringed spaces)的界说，它的作用是将粗野的空间“粘贴”在全部。H. 嘉当还与艾伦伯格(Eilenberg)全部创立了同调代数的基本表面体系，讲解了同调代数中的许多定理。同调代数与交换代数全部，成为了当代代数几何最基本的言语。

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图16：H. 嘉当与多复变函数论、同调代数

另一位鼎力鼓舞让层论进入代数几何的数学家是塞尔(Serre)。塞尔也曾在早年研究了拓扑学中尽头贫困的球面同伦群的计较问题，以后他就参与到了H. 嘉当指点的多复变函数论和层论的研究中。和不少数学家一样，其实塞尔的最终研究标的之一亦然想讲解韦伊臆想。塞尔在一种允许有奇点的施泰因(Stein)复流形上引入了十分重要的凝华层(coherence sheaf)的成见(它不错作为是纤维丛的某种模拟)，凝华层的上同调群具有十分精采的性质。接着塞尔又看出层论也不错用在比施泰因流形更特殊的复代数簇上，于是他就立即系统地将层论大限度地愚弄到了代数几何中。

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图17：塞尔在代数几何中大限度引入了层论

塞尔为代数几何构念念了一个最基本的研究对象，称为“塞尔簇(Serre Variety)”，其中充分继承了H. 嘉当的环层空间的成见。塞尔以为这是一个比韦伊的无谓层论的抽象代数簇更粗野的成见。咱们不错这样知道：塞尔所作念的这一切，其实尽头于是将举座微分几何中的纤维丛表面的念念想移植到了代数几何中。塞尔还对他的塞尔簇讲解了著明的“塞尔对偶性定理”

它现时是计较概形的层的上同调群的基本公式。不外和韦伊的抽象代数簇一样，塞尔簇也有我方的迂回，举例有一个波及“王人备性(complete)”的附加要求就限度了塞尔簇的使用范围。

八、概形表面的创立

践诺上早在20世纪50年代的时候，就还是有东说念主猜度了概形这个比塞尔簇更基础的成见，然而莫得东说念主信得过敢去践诺建立这个概形表面。这是因为若是要将概形作为代数几何的最基本的研究对象，那么就等于是将迄今为止建立起来的通盘代数几何的表面大厦推倒重来，况兼构建这个空前巨大的概形表面，需要空洞一百多年来所产生的代数、分析、几何、数论与拓扑等学科的巨额主要终结，以其责任量之重大，就十分需要一个像格罗滕迪克那样的超等天才式的东说念主物。

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图18：伟大的数学家格罗滕迪克

1928年3月28日，格罗滕迪克出身于德国柏林的一个犹太家庭，他在开头其数学研究的活命时，所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。在这之后，格罗滕迪克参预到了同调代数的研究中。亦然在阿谁期间，他开头了与塞尔的历久著明通讯。从塞尔以尽头他的数学家那处，格罗滕迪克学到了许多当代数学和代数几何的基本常识，转而对代数几何和数论产生了浓厚的意思。他研究建立代数几何基础表面的热烈动机之一其实亦然为了想讲解阿谁与黎曼臆想肖似的有限域上高维代数簇的韦伊臆想。

前边也曾谈到在仿射簇 和它的坐标环之间有逐一双应的关系，因此对仿射簇的几何研究也就不错更始为对相应的坐标环的代数研究。关联词坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个挑升的称号叫“ -代数( -algebra)”。由于不是每个交换环都不错成为仿射簇的坐标环(举例整数环Z即是如斯)，是以格罗腾迪克就想用纵情的交换环来构造一种肖似于仿射簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都不错成为这种抽象几何对象的“坐标环”。

塞尔也曾在他的塞尔簇表面中讲解过一个重要的终结：交换环 的局部化的成见不错导致产生由 的通盘极大渴望构成的极大渴望谱 上的一个层。咱们也曾说过，仿射簇坐标环的极大渴望与仿射簇上的点亦然逐一双应的，由此东说念主们容易猜度：用极大渴望谱 来作为与交换环 对应的“几何对象”，况兼但愿交换环之间的同态映射 ： 对应于这种新“几何对象”之间的正则映射。关联词缺憾的是， 的极大渴望 的逆像 并不老是 中的极大渴望。然而一朝当东说念主们把极大渴望换成了素渴望，这个问题便不存在了（在大学抽象代数课程里有一个基本的习题：讲解素渴望的同态逆像一定是素渴望）。

在1957年傍边，卡吉耶(Pierre Cartier) 建议用交换环 的全体素渴望的聚拢 （称为素谱）来作为与 对应的“几何对象”，它应该是经典仿射簇的某种抽象的施行。这个粗野的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的起点。这是因为每个交换环 的素谱 连同它上头的结构层 全部，都大约构成一个环层空间 ，这个环层空间即是最粗野的“概形”——仿射概形(affine scheme)。这个仿射概形即是格罗滕迪克心目中最基本的“抽象的几何对象”。一朝有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的研究就大约更始为对纵情交换环的代数研究，这样就将极地面拓展这种新几何的适用范围，完结东说念主们长期以来日思夜想的将代数几何与代数数论统全部来的渴望。

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图19：仿射概形的基本想法

这个构想仿射概形的经过有点肖似于感恩金和韦伯从复数域的有限膨胀动身来构造抽象的“代数弧线”一样。格罗滕迪克通过构造一种肖似于仿射簇那样的抽象的几何对象“仿射概形”，使得每一个交换环都成为了这种仿射概形的坐标环。咱们不错这样来暗意这些对应关系：

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1958年8月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的外洋数学家大会上作了一个酬谢。他的这个酬谢预报了其改日十年的责任，尽头于是给出了巨大的概形表面的提纲。自后被誉为“代数几何的圣经”的八卷《代数几何学旨趣》(简称EGA)，即是格罗滕迪克在1960-1967年间按照这个提纲来写的。

仿射概形具体的构造经过是这样的：首先设 是一个纵情的交换环，记 为 中通盘素渴望的聚拢，则 即是咱们所需要的“几何空间”，它上头的每一个“点”都是一个素渴望。

接下来不错界说在这个“几何空间”上的函数。对于每个“点”(即素渴望) ，记 为整环 的商域，那么交换环 的每一个元素 都不错按如下的花式被以为是一个 上的函数：咱们界说 是 在镶嵌映射 下的像。举例当 属于素渴望 时，它在该镶嵌映射下的像是域 中的零。为了确认这里界说的函数如实是夙昔经典仿射簇 上多项式函数的施行，咱们不错令 是 的坐标环，况兼令 是一个极大渴望(由希尔伯特零点定理知说念 代表一个点)，那么此时就有 ，而从以上的界说可知 的元素 在 点处的值其实即是传统真义上的多项式函数值。

有了函数，咱们就不错界说 中的“代数集(即零点集)”了。设 (即 是一些函数的聚拢)，则 的“代数集”的是

然后就和夙昔一样，将在 中的补集都界说为“开集”，于是就有了“几何空间” 上的“扎里斯基拓扑”。

构造仿射概形的终末一步是界说 上的“结构层” ，其基应允趣与在经典仿射簇顶用克鲁尔的局部环来形成结构层的作念法是肖似的，只是推导的经过比拟繁复。这样，“几何空间” 与“结构层” 全部就构成了一个环层空间 ——它即是“仿射概形”。不错讲解，当是坐标环时，这里界说的“结构层”一定即是仿射簇 的传统真义上的结构层，从而咱们不错说仿射概形是仿射簇的施行。

在有了以上对于仿射概形的酌量成见后，格罗滕迪克就大约界说概形了。在著明的EGA的第一卷第一章中，咱们看到底下的两个界说：

“

（2.1.1）设有一个环层空间 ，所谓 的一个开子集 是一个仿射开集，是指环层空间 是一个仿射概形（1.7.1）。界说（2.1.2）——概形是指这样的环层空间，它的每一个点都有一个仿射开邻域。

”

格罗滕迪克在前一个界说里所说的“仿射开集”与后一界说中的“仿射开领域”的含义是一样的。换句话说，概形即是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也不错将概形粗野地知道为是将一些仿射概形经过合乎的“粘贴”后而得到的。由于仿射概形是仿射簇的施行，因此很彰着：概形如实是经典代数簇的抽象施行。

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图20：格罗滕迪克写的《代数几何学旨趣》(EGA) 第一卷的中译本

格罗滕迪克的概形表面将代数几何打形成了一个在很猛进程上将几何、代数、数论与分析无缺统全部来的逻辑推理体系，它具有许多经典代数几何表面所莫得的优点。举例在概形上，不错有严格的“一般点(generic point)”、“基变换(change of bases)”、以及“幂零元(nilpotent element)”等尽头灵验的成见，况兼不错用详尽的抽象代数的才气来研究几何对象的多样抽象的“几何性质”，这样就为治理一多半重要的经典数学问题开导了说念路。相同在概形上，咱们不错作念通盘的在经典代数簇上也曾作念过的事情，举例不错界说广义的“纤维丛”(即模层)、“除子”和“微分”，不错有层的上同爱护论(包括Serre的对偶定理等)，不错建立严格的代数簇分类表面和和一般的黎曼-罗赫定理，以及建立严格的相交表面(包括周环和陈类)等等。在概形上也大约作念夙昔根柢无法作念到的事情，举例不错构造模空间的严格表面，尤其是不错建立大约应用于数论的“算术代数几何”表面等。

在写已矣EGA之后，格罗滕迪克和他的融合者们又全部马不断蹄，连续撰写书名简称为SGA的另外八卷系列的代数几何专著。就这样，通过总篇幅达7500页的EGA和SGA这两套书的写稿，格罗滕迪克在20世纪60年代末，终于将经典的代数簇表面施行成了适用面更广的概形表面，信得过为通盘代数几何建立起了一个隆重的逻辑基础，况兼透顶重写了代数几何。

不外，先进的概形表面并不料味着它是容易掌执的。恰恰相背，东说念主们需要付出巨大的勤奋，还需要掌执巨额的交换代数与同调代数，才大约信得过知道和掌执概形表面。常常在经典代数几何中是寥寥数语的事情，到了概形表面中评释就比拟长。举例前边也曾说过，在概形表面所接收的扎里斯基拓扑中，莫得豪斯多夫的分离性公理，因此在践诺需要研究代数簇的分离性质的时候，就需要用比拟复杂的映射性质来间接地描摹分离性。

在今天，若是要让咱们顺利通过阅读格罗滕迪克的EGA来学习概形表面的话，是有许多贫困的。主要的问题还在于它的顶点一般的抽象性，以及它的篇幅巨大。好在代数几何学家哈茨霍恩(Hartshorne)在1977年写了一册极好的研究生教材《代数几何》（有科学出书社的中译本），它不错作为是EGA的一个浓缩简写本。

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图21：哈茨霍恩写的《代数几何》中译本

九、概形表面鼓舞了代数几何的大发展

代数几何学家西里贝托（C. Ciliberto）曾说：“诚然概形来源于代数簇及它们之间的映射，但不错说在代数几何中其实到处都有概形，举例概形不错作为映射的像、映射的纤维，以及用来作为对射影空间中的代数簇进行参数化的模空间等等。东说念主们逐渐发现概形和凝华层的上同调恰是进一步发展代数几何所需要的最合适的言语，这种言语也曾是德国粹派和意大利派系所挫折生机的。格罗滕迪克的概形表面王人备完结了范德瓦尔登、韦伊和扎里斯基要为代数几何打造一个坚实严格的逻辑基础的渴望，他们也曾尽头紧急地但愿创造一种大约同期描画代数簇的拓扑性质和的算术性质的新的宽广性言语。”（见《Development of Mathematics(1950-2000)》一书）。

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图22：中年和晚年的格罗滕迪克

自后的历史发展讲解，当经典代数几何的逻辑基础问题被透顶治理后，代数几何便立即在20世纪的后半叶取得了巨猛阐明。底下列举了一些通过愚弄概形表面而得回的首要终结：

1．芒福德(Mumford)建立了一般模空间的表面；2．广中平佑治理了纵情维数代数簇的奇点解消问题；3．德利涅(Deligne)讲解了数论中韦伊臆想；4．法尔廷斯(Faltings)讲解了数论中的莫德尔(Mordell)臆想；5．森重文在3维代数簇的分类研究中取得了关键性的冲破；6．怀尔斯(Wiles)讲解了数论中著明的费马大定理。

不仅如斯，伴跟着这些首要问题的治理经过，同期又出现了一多半全新的数学研究领域，其中尤其令东说念主想不到的是概形表面对于数学物理的研究所产生的巨大鼓舞作用，而在量子场论中出现的许多新念念想（举例弦表面、镜像对称和量子上同调等），反过来又促进了对代数簇的拓扑和计数几何的研究。

最近，胥鸣伟本分在他刚出书的《代数几何课本》（高档西宾出书社2021年）一书中这样写说念：“从黎曼，到主要以结式为用具，处理可构造性问题的经典派系，到具很强直不雅性的意大利派系，再到建立严格基础的扎里斯基，范德瓦尔登，韦伊，终末到了格罗滕迪克的概形表面：这是一个奥密的极具威力的表面，是20世纪数学的最伟大建树之一，于今仍连续上前发展，深入到许多领域。在本书中，咱们试图沿这条阶梯游览一遍，为进一步研究更深的代数几何关系内容打好基础，诸如代数几何的根柢问题：分类（包括现时热门的双有理几何），与表面物理（举例超弦表面）紧密关系的模簇表面，与数论关系的算术代数几何（即在Q，Z或有限域上的代数几何），与K表面关系的周环表面，等等。总之，代数几何是当代数学，异常是表面数学的最重要的基础之一，它将为你提供念念考数学问题的另一种遒劲平台。”

东说念主们常说格罗滕迪克“有一种对于数学可能是什么的瀽瓴高屋般的不雅点”。数学家巴斯(Bass)就曾评价：格罗滕迪克用一种“天下般普适”的不雅点调动了通盘数学的全貌。咱们不妨不错粗野地将代数几何作为是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。异常是从代数几何中体现出来的代数与几何互相作用的花式，具有宽广的真义，现时这种念念想才气还是浸透到了险些通盘的当代数学各主要分支学科中。

文稿|陈跃剪辑|朱善军【VEC-247】母の親友 KAORI

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